Федор Шагов родился в Москве. В 2009 году окончил Музыкальное училище им. Гнесиных (класс Александра Казаченкова), в 2014-м – Российскую академию музыки им. Гнесиных (класс Александра Казаченкова), а в 2015-м – Университет Моцартеум в Зальцбурге (класс Андреаса Хофмайера).
Лауреат Международного музыкального конкурса в Тревизо (Италия, 2014), Международного конкурса исполнителей на духовых инструментах в Туре (Франция, 2015) и Международного музыкального конкурса им. Михала Списака в Домброва-Гурнича (Польша, 2015). В 2019 году завоевал II премию на Международном конкурсе им. П. И. Чайковского.
Гастролировал в городах России, Германии, Франции и Малайзии. Выступал с Симфоническим оркестром Государственной академической капеллы Санкт-Петербурга, Государственным симфоническим оркестром «Новая Россия», Национальным филармоническим оркестром России, Большим симфоническим оркестром им. П. И. Чайковского и Баден-Баденским филармоническим оркестром.
Постоянный участник брасс-фестиваля Brass Days, проходящего в Москве, Туле, Оренбурге и Уфе. Артист Государственной академической симфонической капеллы России под управлением Владимира Полянского. Артист Buffet Crampon и представитель фирмы-производителя медных духовых инструментов B&S.